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MathTCG
#034 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #334 / 500•★★Peu commune•ℤArithmétique•Concept

Nombres de Fermat

Période historique : 1640

Nombres F_n = 2^{2^n} + 1 régissant la constructibilité des polygones réguliers à la règle et au compas.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Entier de la forme 2^(2^n) + 1, lié à la constructibilité euclidienne des polygones réguliers.
Notation usuelle & Exemples
F_0 = 3, \; F_1 = 5, \; F_2 = 17, \; F_3 = 257, \; F_4 = 65537
Fn=22n+1,F5=641×6700417F_n = 2^{2^n} + 1, \quad F_5 = 641 \times 6700417

Genèse & Portée historique

Pierre de Fermat avait conjecturé que tous les nombres F_n étaient premiers (vrai pour F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537). Mais Euler montra en 1732 que F5 = 4294967297 est divisible par 641 ! Gauss montra qu'un polygone régulier à n côtés est constructible si et seulement si n est produit d'une puissance de 2 et de premiers de Fermat distincts.

On n'a découvert aucun autre nombre premier de Fermat au-delà de F4 à ce jour, et l'on conjecture même qu'ils sont tous composés pour n >= 5.

« La tour exponentielle double qui défia l'intuition de Fermat avant de céder sous le calcul d'Euler. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Établi / Formulé par#116

Pierre de Fermat

Entiers de la forme 2^(2^n) + 1 conjecturés premiers par Fermat.

Objet de collection MathTCG

#334
★★Peu commune
ℤ

Nombres de Fermat

Arithmétique•CONCEPT

Entier de la forme 2^(2^n) + 1, lié à la constructibilité euclidienne des polygones réguliers.

Fn=22n+1,F5=641×6700417F_n = 2^{2^n} + 1, \quad F_5 = 641 \times 6700417
1640

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#034 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #334 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Arithmétique
Identifiant pérenne : nombres-de-fermat
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