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MathTCG
#007 / 100•Space, Chance & Computation•MathTCG #407 / 500•★★★★Épique•△Géométrie•Théorème

Paradoxe de Banach-Tarski

Période historique : 1924

Une boule solide découpée en un nombre fini de morceaux peut être réassemblée en deux boules identiques.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
Boule unité dans ℝ³ sous l'axiome du choix (ZFC).
Énoncé formel
Une boule solide découpée en un nombre fini de morceaux peut être réassemblée en deux boules identiques.
B=⨆i=1kAi  ⟹  ⨆i=1kgi(Ai)=B1⊔B2,k≥5, gi∈SO(3)⋉R3B = \bigsqcup_{i=1}^k A_i \implies \bigsqcup_{i=1}^k g_i(A_i) = B_1 \sqcup B_2, \quad k \ge 5, \, g_i \in \mathbf{SO}(3) \ltimes \mathbb{R}^3

Genèse & Portée historique

Établi par Stefan Banach et Alfred Tarski en 1924, ce théorème spectaculaire montre qu'en utilisant l'axiome du choix, une boule de R^3 peut être scindée en seulement cinq morceaux géométriques qui, déplacés uniquement par rotations et translations euclidiennes, reforment deux boules solides identiques à l'originale. Ce paradoxe découle de l'existence de sous-ensembles non mesurables.

Ce résultat s'appuie sur la structure du groupe libre à deux générateurs F_2, sous-groupe du groupe des rotations de l'espace SO(3), impossible dans le plan euclidien R^2 (amenable).

« Dans le labyrinthe des ensembles non mesurables, un pois peut devenir une planète par simple rotation. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Repose sur le concept#408

Axiome du choix

La décomposition paradoxale de Banach-Tarski repose sur l'axiome du choix.

Objet de collection MathTCG

#407
★★★★Épique
△

Paradoxe de Banach-Tarski

Géométrie•THÉORÈME

Hypothèses : Boule unité dans ℝ³ sous l'axiome du choix (ZFC).

B=⨆i=1kAi  ⟹  ⨆i=1kgi(Ai)=B1⊔B2,k≥5, gi∈SO(3)⋉R3B = \bigsqcup_{i=1}^k A_i \implies \bigsqcup_{i=1}^k g_i(A_i) = B_1 \sqcup B_2, \quad k \ge 5, \, g_i \in \mathbf{SO}(3) \ltimes \mathbb{R}^3
1924

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Space, Chance & Computation.

Extension : Space, Chance & Computation (#007 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #407 / 500
Rareté officielle : Épique (★★★★)
Domaine théorique : Géométrie
Identifiant pérenne : paradoxe-de-banach-tarski
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