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MathTCG
#051 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #351 / 500•★★Peu commune•⊕Algèbre•Concept

Polynôme caractéristique

Période historique : 1853

Le polynôme invariant det(lambda I - A) dont les racines sont exactement les valeurs propres.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Polynôme unitaire de degré n invariant par similitude matricielle.
Notation usuelle & Exemples
\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)
PA(λ)=det⁡(λI−A)=λn−Tr⁡(A)λn−1+⋯+(−1)ndet⁡(A)P_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^n - \operatorname{Tr}(A)\lambda^{n-1} + \dots + (-1)^n \det(A)

Genèse & Portée historique

Associé à toute matrice carrée ou endomorphisme en dimension finie, le polynôme caractéristique est un invariant par changement de base. Son coefficient constant vaut (-1)^n det(A) et son coefficient sous-dominant vaut -Tr(A). D'après Cayley-Hamilton, la matrice l'annule.

Introduit par Cauchy en 1829 dans le cadre de la théorie des axes principaux d'inertie des solides en rotation.

« L'empreinte polynomiale invariante scellant le spectre entier d'un opérateur linéaire. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Repose sur le concept#326

Valeur propre et vecteur propre

Les racines du polynôme caractéristique sont exactement les valeurs propres de la matrice.

Objet de collection MathTCG

#351
★★Peu commune
⊕

Polynôme caractéristique

Algèbre•CONCEPT

Polynôme unitaire de degré n invariant par similitude matricielle.

PA(λ)=det⁡(λI−A)=λn−Tr⁡(A)λn−1+⋯+(−1)ndet⁡(A)P_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^n - \operatorname{Tr}(A)\lambda^{n-1} + \dots + (-1)^n \det(A)
1853

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#051 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #351 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : polynome-caracteristique
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