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MathTCG
#182 / 200•Foundations•MathTCG #182 / 500•★Commune•∫Analyse•Concept

Série

Période historique : XVIIe - XIXe siècle

L'addition d'une infinité de termes : la somme continue menée jusqu'à la limite.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Couple formé d'une suite (u_n) et de la suite de ses sommes partielles (S_n), dont la convergence est celle de la suite (S_n).
Notation usuelle & Exemples
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = 1, \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
S=∑n=0∞un=lim⁡N→∞∑n=0NunS = \sum_{n=0}^\infty u_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N u_n

Genèse & Portée historique

Somme formelle des termes d'une suite (u_n). On dit qu'une série converge si la suite de ses sommes partielles S_n = u_0 + ... + u_n admet une limite finie quand n tend vers l'infini, permettant d'attribuer une valeur exacte à une addition infinie.

Pendant longtemps, les séries divergentes provoquèrent des paradoxes vertigineux (comme la série de Grandi 1 - 1 + 1 - 1...), jusqu'à ce que Cauchy et Weierstrass n'imposent la définition stricte par les sommes partielles.

« Additionner sans jamais s'arrêter, jusqu'à ce que l'infini se condense en un nombre fini. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

A pour prérequis#181

Suite

Une série est définie comme la suite de ses sommes partielles.

Objet de collection MathTCG

#182
★Commune
∫

Série

Analyse•CONCEPT

Couple formé d'une suite (u_n) et de la suite de ses sommes partielles (S_n), dont la convergence est celle de la suite (S_n).

S=∑n=0∞un=lim⁡N→∞∑n=0NunS = \sum_{n=0}^\infty u_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N u_n
XVIIe - XIXe siècle

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#182 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #182 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : serie
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