#011 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #211 / 500•★★★★Épique•∫Analyse•Méthode & Idée

Série de Fourier

Période historique : 1807

Décomposition universelle d'un signal périodique en somme d'oscillations sinusoïdales pures.

Contenu & Formulation mathématique

Principe de la démarche

Projection orthogonale d'une fonction périodique de carré intégrable sur la base hilbertienne trigonométrique.

Champs d'application canoniques

Analyse spectrale, résolution des EDP de diffusion et filtrage fréquentiel.

f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t) \right)

Genèse & Portée historique

La décomposition en série de Fourier affirme que toute fonction périodique raisonnable peut être représentée par une superposition infinie d'harmoniques trigonométriques pondérées. C'est l'outil fondateur du traitement du signal, de l'acoustique et de la compression de données.

Lorsque Fourier présenta ce mémoire en 1807, Lagrange et Laplace rejetèrent d'abord ses conclusions, doutant qu'une somme de sinusoïdes lisses pût reproduire des fonctions discontinues à angles vifs.

« Toute symphonie complexe n'est que le murmure combiné de diapasons purs. »