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MathTCG
#016 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #216 / 500•★★★Rare•∫Analyse•Théorème

Théorème de convergence dominée

Période historique : 1902

Le chef-d'œuvre de Lebesgue permettant d'intervertir la limite et l'intégrale sous simple domination.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
(f_n) suite mesurable convergeant presque partout vers f, telle que |f_n(x)| <= g(x) avec g intégrable.
Énoncé formel
f est intégrable et la limite des intégrales de f_n est égale à l'intégrale de f.
lim⁡n→∞∫Efn dμ=∫E(lim⁡n→∞fn)dμ\lim_{n \to \infty} \int_E f_n\,d\mu = \int_E \left( \lim_{n \to \infty} f_n \right) d\mu

Genèse & Portée historique

Si une suite de fonctions mesurables converge simplement presque partout vers une fonction f et reste bornée en module par une fonction g intégrable fixe, alors l'intégrale de la suite converge vers l'intégrale de la fonction limite f.

Sous l'intégrale de Riemann, l'interversion nécessitait la convergence uniforme très contraignante. Le théorème de Lebesgue a libéré l'analyse mathématique en fournissant un critère souple et omniprésent.

« Sous la protection d'une fonction dominante, la limite pénètre sans heurt au cœur de l'intégrale. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Établi / Formulé par#202

Henri Lebesgue

Théorème pilier de l'intégration de Lebesgue établi par Henri Lebesgue.

Objet de collection MathTCG

#216
★★★Rare
∫

Théorème de convergence dominée

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : (f_n) suite mesurable convergeant presque partout vers f, telle que |f_n(x)| <= g(x) avec g intégrable.

lim⁡n→∞∫Efn dμ=∫E(lim⁡n→∞fn)dμ\lim_{n \to \infty} \int_E f_n\,d\mu = \int_E \left( \lim_{n \to \infty} f_n \right) d\mu
1902

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#016 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #216 / 500
Rareté officielle : Rare (★★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-de-convergence-dominee
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