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MathTCG
#058 / 200•Foundations•MathTCG #058 / 500•★Commune•∫Analyse•Théorème

Théorème de Fubini

Période historique : 1907 (Guido Fubini)

L'inversion de l'ordre d'intégration sur un produit d'espaces sous condition d'intégrabilité absolue.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
(X, A, μ) et (Y, B, ν) espaces mesurés σ-finis, f mesurable intégrable sur X × Y.
Énoncé formel
Si l'intégrale du module de f sur X × Y est finie, l'intégrale sur le produit coïncide avec les intégrales itérées.
∬X×Y∣f(x,y)∣ dμ dν<∞  ⟹  ∫X(∫Yf dν)dμ=∫Y(∫Xf dμ)dν\iint_{X \times Y} |f(x,y)|\,d\mu\,d\nu < \infty \implies \int_X \left( \int_Y f\,d\nu \right) d\mu = \int_Y \left( \int_X f\,d\mu \right) d\nu

Genèse & Portée historique

Théorème fondamental du calcul intégral à plusieurs variables garantissant que si une fonction mesurable sur un produit d'espaces est absolument intégrable, son intégrale double peut être calculée indifféremment par des intégrales simples successives dans n'importe quel ordre.

Guido Fubini généralisa les résultats antérieurs d'Euler et Cauchy dans le cadre de la théorie moderne de la mesure de Lebesgue en 1907 à Turin.

« Découper en tranches horizontales ou en tranches verticales donne toujours le même volume. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Repose sur le concept#025

Intégrale

Autorise l'inversion de l'ordre des intégrales partielles itérées sur un produit d'espaces.

Objet de collection MathTCG

#058
★Commune
∫

Théorème de Fubini

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : (X, A, μ) et (Y, B, ν) espaces mesurés σ-finis, f mesurable intégrable sur X × Y.

∬X×Y∣f(x,y)∣ dμ dν<∞  ⟹  ∫X(∫Yf dν)dμ=∫Y(∫Xf dμ)dν\iint_{X \times Y} |f(x,y)|\,d\mu\,d\nu < \infty \implies \int_X \left( \int_Y f\,d\nu \right) d\mu = \int_Y \left( \int_X f\,d\mu \right) d\nu
1907 (Guido Fubini)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#058 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #058 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-de-fubini
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