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MathTCG
#028 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #328 / 500•★★★Rare•⊕Algèbre•Théorème

Théorème de structure des groupes abéliens finis

Période historique : 1870

Tout groupe abélien fini est isomorphe de manière unique à un produit direct de groupes cycliques primaires.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
G groupe fini abélien.
Énoncé formel
G est produit direct de sous-groupes cycliques dont les ordres forment une suite d'invariants de torsion.
G≅Z/d1Z×Z/d2Z×⋯×Z/dkZ(d1∣d2∣…∣dk)G \cong \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z} \times \dots \times \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z} \quad (d_1 | d_2 | \dots | d_k)

Genèse & Portée historique

Ce théorème de classification intégrale démontre que tout groupe commutatif fini peut être décomposé sous forme de produit direct de groupes Z/p^k Z où p est premier. Il résout complètement la taxonomie de tous les groupes abéliens finis.

Démontré par Leopold Kronecker en 1870, ce théorème a été étendu par la suite aux modules de type fini sur un anneau principal.

« Décomposer toute symétrie commutative en ses atomes cycliques élémentaires. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Repose sur le concept#032

Évariste Galois

Classification complète de tout groupe commutatif fini en produit direct de groupes cycliques.

Objet de collection MathTCG

#328
★★★Rare
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Théorème de structure des groupes abéliens finis

Algèbre•THÉORÈME

Hypothèses : G groupe fini abélien.

G≅Z/d1Z×Z/d2Z×⋯×Z/dkZ(d1∣d2∣…∣dk)G \cong \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z} \times \dots \times \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z} \quad (d_1 | d_2 | \dots | d_k)
1870

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#028 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #328 / 500
Rareté officielle : Rare (★★★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : theoreme-de-structure-des-groupes-abeliens-finis
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