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MathTCG
#044 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #344 / 500•★★Peu commune•⊕Algèbre•Théorème

Théorème de Sylow

Période historique : 1872

Théorèmes d'existence et de conjugaison des sous-groupes d'ordre maximal p^k dans tout groupe fini.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
G groupe fini d'ordre divisible par une puissance de nombre premier p^k.
Énoncé formel
Il existe des sous-groupes d'ordre p^k, tous conjugués, en nombre n_p divisant m et congru à 1 mod p.
∣G∣=pkm  (p∤m)  ⟹  ∃P≤G,  ∣P∣=pk,np≡1(modp)|G| = p^k m \; (p \nmid m) \implies \exists P \le G,\; |P| = p^k, \quad n_p \equiv 1 \pmod p

Genèse & Portée historique

Si l'ordre d'un groupe fini est divisible par p^k (puissance maximale divisant l'ordre), alors G contient au moins un sous-groupe d'ordre p^k (appelé p-sous-groupe de Sylow). De plus, tous les p-Sylow sont conjugués entre eux et leur nombre n_p est congru à 1 modulo p.

Le mathématicien norvégien Peter Ludwig Sylow a publié ces résultats en 1872, fournissant les outils de dissection les plus puissants pour classifier les groupes finis simples.

« Détecter les sous-groupes primaires fondamentaux nichés dans la structure de tout groupe fini. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Repose sur le concept#061

Théorème de Lagrange sur les groupes

Les théorèmes de Sylow fournissent une réciproque partielle au théorème de Lagrange sur l'ordre des sous-groupes.

Objet de collection MathTCG

#344
★★Peu commune
⊕

Théorème de Sylow

Algèbre•THÉORÈME

Hypothèses : G groupe fini d'ordre divisible par une puissance de nombre premier p^k.

∣G∣=pkm  (p∤m)  ⟹  ∃P≤G,  ∣P∣=pk,np≡1(modp)|G| = p^k m \; (p \nmid m) \implies \exists P \le G,\; |P| = p^k, \quad n_p \equiv 1 \pmod p
1872

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#044 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #344 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : theoreme-de-sylow
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