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MathTCG
#167 / 200•Foundations•MathTCG #167 / 500•★Commune•ℤArithmétique•Théorème

Théorème de Wilson

Période historique : 1770 (Lagrange)

Le critère parfait de primalité : un entier p est premier si et seulement si (p-1)! + 1 est divisible par p.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
p ∈ ℕ avec p ≥ 2.
Énoncé formel
Un entier p > 1 est un nombre premier si et seulement si la factorielle (p-1)! est congrue à -1 modulo p.
(p−1)!≡−1(modp)  ⟺  p∈P(p≥2)(p - 1)! \equiv -1 \pmod p \iff p \in \mathbb{P} \quad (p \ge 2)

Genèse & Portée historique

Théorème arithmétique fournissant une condition nécessaire et suffisante élégante pour qu'un entier soit premier. Bien que peu pratique pour tester de très grands nombres en raison de la taille de la factorielle, il possède une immense valeur théorique.

Énoncé par John Wilson mais non prouvé par lui, Edward Waring publia la conjecture en déclarant qu'elle ne pouvait être prouvée par manque de notation adéquate ; Lagrange en donna une preuve éclatante l'année suivante.

« Tous les facteurs intermédiaires s'annulent par couples d'inverses, ne laissant que le dernier résidu en défi. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Repose sur le concept#113

Nombre premier

Caractérise la primalité par la divisibilité exacte de (p-1)! + 1.

Objet de collection MathTCG

#167
★Commune
ℤ

Théorème de Wilson

Arithmétique•THÉORÈME

Hypothèses : p ∈ ℕ avec p ≥ 2.

(p−1)!≡−1(modp)  ⟺  p∈P(p≥2)(p - 1)! \equiv -1 \pmod p \iff p \in \mathbb{P} \quad (p \ge 2)
1770 (Lagrange)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#167 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #167 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Arithmétique
Identifiant pérenne : theoreme-de-wilson
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