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MathTCG
#140 / 200•Foundations•MathTCG #140 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Théorème

Théorème des accroissements finis

Période historique : 1797 (Lagrange)

La vitesse moyenne égalée : sur tout trajet continu et dérivable, la vitesse instantanée égale au moins une fois la vitesse moyenne.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
Énoncé formel
Soit f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Il existe au moins un réel c ∈ ]a, b[ tel que f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).
f(b)−f(a)b−a=f′(c)(c∈]a,b[)\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \quad (c \in ]a, b[)

Genèse & Portée historique

Généralisation géométrique du théorème de Rolle. Il stipule que pour toute fonction f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, il existe un point intérieur c où la tangente est rigoureusement parallèle à la corde joignant (a, f(a)) à (b, f(b)).

Formulé sous sa forme moderne par Joseph-Louis Lagrange en 1797 puis perfectionné par Cauchy, ce théorème est l'outil indispensable pour encadrer les fonctions et prouver que toute fonction à dérivée positive est croissante.

« La vitesse d'un instant rattrape toujours la moyenne du voyage. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Généralise#139

Théorème de Rolle

Généralise le résultat de Rolle à deux ordonnées d'extrémités quelconques.

Objet de collection MathTCG

#140
★★Peu commune
∫

Théorème des accroissements finis

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : f continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.

f(b)−f(a)b−a=f′(c)(c∈]a,b[)\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \quad (c \in ]a, b[)
1797 (Lagrange)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#140 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #140 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-des-accroissements-finis
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