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MathTCG
#007 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #207 / 500•★★★★Épique•∫Analyse•Théorème

Théorème des résidus

Période historique : 1826

L'outil ultime d'évaluation d'intégrales par la somme des singularités complexes.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
f méromorphe à l'intérieur et sur un lacet rectifiable simple gamma ne rencontrant aucun pôle.
Énoncé formel
L'intégrale de f le long de gamma est égale à 2 pi i fois la somme des résidus aux pôles intérieurs.
∮γf(z) dz=2πi∑k=1nRes⁡(f,ak)\oint_{\gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}(f, a_k)

Genèse & Portée historique

Le théorème des résidus permet d'évaluer des intégrales d'allure intraitable sur la droite réelle en refermant le contour dans le plan complexe. L'intégrale ne dépend que de la somme des coefficients des termes en 1/(z - a) des développements en séries de Laurent des pôles intérieurs.

Élaboré par Augustin-Louis Cauchy entre 1825 et 1826, ce théorème unifie le calcul différentiel, les équations différentielles et la topologie des courbes planes fermées.

« Le contour capte la somme des cœurs singuliers qu'il enlace. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Établi / Formulé par#031

Augustin-Louis Cauchy

Théorème d'analyse complexe fondamental de Cauchy reliant l'intégrale aux résidus.

Objet de collection MathTCG

#207
★★★★Épique
∫

Théorème des résidus

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : f méromorphe à l'intérieur et sur un lacet rectifiable simple gamma ne rencontrant aucun pôle.

∮γf(z) dz=2πi∑k=1nRes⁡(f,ak)\oint_{\gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}(f, a_k)
1826

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#007 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #207 / 500
Rareté officielle : Épique (★★★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-des-residus
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