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MathTCG
#083 / 200•Foundations•MathTCG #083 / 500•★Commune•∫Analyse•Théorème

Théorème des valeurs intermédiaires

Période historique : 1817 (Bernard Bolzano)

Une fonction continue sur un intervalle passe obligatoirement par toutes les valeurs situées entre ses bornes.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
f continue sur le segment réel [a, b].
Énoncé formel
L'image d'un intervalle réel connexe par une application continue est également un intervalle connexe.
f∈C([a,b],R)  ⟹  ∀y∈[min⁡(f(a),f(b)),max⁡(f(a),f(b))],  ∃c∈[a,b],  f(c)=yf \in \mathcal{C}([a, b], \mathbb{R}) \implies \forall y \in [\min(f(a), f(b)), \max(f(a), f(b))], \; \exists c \in [a, b], \; f(c) = y

Genèse & Portée historique

Théorème fondamental de continuité affirmant que pour toute fonction continue f sur un segment [a, b], et pour toute valeur réelle y comprise entre f(a) et f(b), il existe au moins un point c dans [a, b] tel que f(c) = y. Il garantit qu'une courbe continue ne peut traverser un axe sans le couper.

Bernard Bolzano fut le premier en 1817 à fournir une preuve analytique rigoureuse affranchie de l'évidence géométrique visuelle, posant les bases de la topologie de la connexité.

« On ne peut franchir un fleuve d'une berge à l'autre sans jamais toucher l'eau. »

Filiations & Relations conceptuelles (2)

Emploie la méthode#068

Méthode de dichotomie

La méthode de dichotomie utilise le changement de signe garanti par ce théorème.

A pour prérequis#184

Continuité

La continuité sur un intervalle est l'hypothèse centrale du théorème des valeurs intermédiaires.

Objet de collection MathTCG

#083
★Commune
∫

Théorème des valeurs intermédiaires

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : f continue sur le segment réel [a, b].

f∈C([a,b],R)  ⟹  ∀y∈[min⁡(f(a),f(b)),max⁡(f(a),f(b))],  ∃c∈[a,b],  f(c)=yf \in \mathcal{C}([a, b], \mathbb{R}) \implies \forall y \in [\min(f(a), f(b)), \max(f(a), f(b))], \; \exists c \in [a, b], \; f(c) = y
1817 (Bernard Bolzano)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#083 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #083 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-des-valeurs-intermediaires
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