∑
MathTCG
#184 / 200•Foundations•MathTCG #184 / 500•★Commune•∫Analyse•Concept

Continuité

Période historique : XIXe siècle (Bolzano, Cauchy)

La fluidité sans saut ni rupture : une courbe que l'on peut tracer sans jamais lever le crayon.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Fonction f définie au voisinage de x_0 telle que la limite de f(x) lorsque x tend vers x_0 est exactement égale à f(x_0).
Notation usuelle & Exemples
f \in C^0(I, \mathbb{R}), \quad x \mapsto x^2 \text{ est continue sur } \mathbb{R}
lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

Genèse & Portée historique

Propriété d'une fonction pour laquelle des variations infiniment petites de la variable entraînent des variations arbitrairement petites de son image : lim f(x) = f(x₀). Elle garantit l'absence de sauts ou de téléportations dans le graphe.

Bernard Bolzano fut en 1817 le premier à formuler une définition purement arithmétique de la continuité indépendante de toute intuition géométrique de mouvement continu, devançant les travaux de Cauchy.

« Le flux sans interruption où chaque état s'enchaîne sans la moindre déchirure. »

Filiations & Relations conceptuelles (2)

Prérequis indispensable pour#083

Théorème des valeurs intermédiaires

La continuité sur un intervalle est l'hypothèse centrale du théorème des valeurs intermédiaires.

A pour prérequis#183

Limite

La continuité d'une fonction se définit par l'égalité de sa limite avec sa valeur.

Objet de collection MathTCG

#184
★Commune
∫

Continuité

Analyse•CONCEPT

Fonction f définie au voisinage de x_0 telle que la limite de f(x) lorsque x tend vers x_0 est exactement égale à f(x_0).

lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
XIXe siècle (Bolzano, Cauchy)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#184 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #184 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : continuite
Consulter mon classeurExplorer tout le recueil