#044 / 200•Foundations•MathTCG #044 / 500•★★Peu commune•△Géométrie•Théorème

Théorème du point fixe de Brouwer

Période historique : 1910 - 1912 (L. E. J. Brouwer)

Tout mouvement continu enfermé dans un disque ou une boule laisse au moins un point immobile.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires

K ⊂ ℝⁿ compact convexe non vide, f : K → K continue.

Énoncé formel

Toute application continue d'un sous-ensemble compact convexe non vide de ℝⁿ dans lui-même admet au moins un point fixe.

f : \overline{B}^n \to \overline{B}^n \text{ continue} \implies \exists x^* \in \overline{B}^n, \; f(x^*) = x^*

Genèse & Portée historique

Résultat fondamental de la topologie algébrique garantissant que toute application continue d'un ensemble compact convexe (tel que la boule unité fermée de ℝⁿ) dans lui-même admet au moins un point invariant f(x) = x, sans exiger aucune contraction métrique.

Bien qu'il ait prouvé ce théorème non constructif majeur dans sa jeunesse, Luitzen Egbertus Jan Brouwer devint plus tard le fondateur intransigeant de l'intuitionnisme, rejetant la validité des preuves non constructives fondées sur le tiers exclu.

« Remuez une tasse de café : il y aura toujours au moins une molécule restée exactement à sa place initiale. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

S'applique à#003

Théorème fondamental de l'algèbre

Peut se démontrer élégamment via des théorèmes topologiques de point fixe ou d'indice.

Objet de collection MathTCG

#044

★★Peu commune

△

Théorème du point fixe de Brouwer

Géométrie•THÉORÈME

Hypothèses : K ⊂ ℝⁿ compact convexe non vide, f : K → K continue.

f : \overline{B}^n \to \overline{B}^n \text{ continue} \implies \exists x^* \in \overline{B}^n, \; f(x^*) = x^*

1910 - 1912 (L. E. J. Brouwer)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#044 / 200)

Numéro global MathTCG : MathTCG #044 / 500

Rareté officielle : Peu commune (★★)

Domaine théorique : Géométrie

Identifiant pérenne : theoreme-du-point-fixe-de-brouwer

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