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MathTCG
#049 / 200•Foundations•MathTCG #049 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Méthode & Idée

Transformée de Laplace

Période historique : 1785 (Laplace) - 1893 (Heaviside)

La transformation intégrale qui convertit les équations différentielles en simples équations algébriques.

Contenu & Formulation mathématique

Principe de la démarche
Intégration pondérée par un noyau exponentiel complexe pour transformer la dérivation en multiplication algébrique.
Champs d'application canoniques
Automatique, régulation industrielle, circuits électriques RLC et équations de la chaleur transitoires.
L{f}(s)=∫0∞e−stf(t) dtavecL{f′}(s)=sF(s)−f(0)\mathcal{L}\{f\}(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt \quad \text{avec} \quad \mathcal{L}\{f'\}(s) = sF(s) - f(0)

Genèse & Portée historique

Opérateur intégral associant à une fonction temporelle f(t) une fonction F(s) du plan complexe. En transformant les dérivées successives en de simples multiplications par la variable complexe s, elle simplifie radicalement la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants et l'analyse des systèmes asservis.

L'ingénieur britannique autodidacte Oliver Heaviside utilisa le calcul opérationnel de manière purement intuitive pour concevoir les câbles télégraphiques transatlantiques avant que les mathématiciens ne reconnaissent la rigueur de la transformée de Laplace.

« Remplacer l'épreuve de la dérivation temporelle par la clarté algébrique du domaine fréquentiel. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Notion connexe#004

Transformée de Fourier

Cas particulier sur l'axe imaginaire pur de la transformation intégrale de Laplace.

Objet de collection MathTCG

#049
★★Peu commune
∫

Transformée de Laplace

Analyse•MÉTHODE

Principe : Intégration pondérée par un noyau exponentiel complexe pour transformer la dérivation en multiplication algébrique.

L{f}(s)=∫0∞e−stf(t) dtavecL{f′}(s)=sF(s)−f(0)\mathcal{L}\{f\}(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt \quad \text{avec} \quad \mathcal{L}\{f'\}(s) = sF(s) - f(0)
1785 (Laplace) - 1893 (Heaviside)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#049 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #049 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : transformee-de-laplace
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