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MathTCG
#183 / 200•Foundations•MathTCG #183 / 500•★Commune•∫Analyse•Concept

Limite

Période historique : XIXe siècle (Cauchy, Weierstrass)

Le concept fondateur du calcul infinitésimal : la valeur approchée arbitrairement près sans jamais avoir besoin de l'atteindre.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Valeur L dont les valeurs de f(x) s'approchent indéfiniment lorsque la variable x s'approche d'un point fixé x_0.
Notation usuelle & Exemples
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
∀ε>0,  ∃δ>0,  ∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−L∣<ε\forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0, \; |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon

Genèse & Portée historique

Notion mathématique fondamentale décrivant le comportement d'une fonction ou d'une suite au voisinage d'un point ou à l'infini. Définie avec une rigueur absolue par Karl Weierstrass avec les quantificateurs ε-δ.

Après deux siècles d'ambiguïté philosophique autour des « infiniment petits » et des « évanescences de grandeurs » de Newton et Leibniz, la définition arithmétisée de Weierstrass a sauvé l'analyse du doute.

« S'approcher aussi près que l'esprit le souhaite sans jamais trébucher sur l'obstacle. »

Filiations & Relations conceptuelles (2)

Prérequis indispensable pour#184

Continuité

La continuité d'une fonction se définit par l'égalité de sa limite avec sa valeur.

Fondement conceptuel de#197

Règle de L'Hôpital

Outil d'évaluation des limites de quotients de fonctions.

Objet de collection MathTCG

#183
★Commune
∫

Limite

Analyse•CONCEPT

Valeur L dont les valeurs de f(x) s'approchent indéfiniment lorsque la variable x s'approche d'un point fixé x_0.

∀ε>0,  ∃δ>0,  ∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−L∣<ε\forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0, \; |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon
XIXe siècle (Cauchy, Weierstrass)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#183 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #183 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : limite
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