#168 / 200•Foundations•MathTCG #168 / 500•★Commune•⊕Algèbre•Théorème

Formule de De Moivre

Période historique : 1707 (de Moivre)

La puissance trigonométrique complexe : élever un nombre complexe de module 1 à la puissance n multiplie simplement son angle par n.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires

x ∈ ℝ, n ∈ ℤ.

Énoncé formel

Pour tout nombre réel x et tout entier relatif n, (cos x + i sin x)^n est égal à cos(nx) + i sin(nx).

(\cos x + i\sin x)^n = \cos(nx) + i\sin(nx)

Genèse & Portée historique

Formule fondamentale liant les nombres complexes et la trigonométrie. Pour tout réel x et tout entier n, (cos x + i sin x)^n = cos(nx) + i sin(nx). Elle permet d'exprimer cos(nx) en polynôme trigonométrique et de calculer les racines n-ièmes de l'unité.

Cette formule constitue la traduction géométrique naturelle de la multiplication complexe : multiplier deux nombres de module 1 revient à additionner leurs angles polaires.

« Dans le plan complexe, élever à la puissance n'est qu'une ronde accélérée n fois le long du cercle unitaire. »