#121 / 200•Foundations•MathTCG #121 / 500•★★★Rare•⊕Algèbre•Concept

Nombre complexe

Période historique : XVIe siècle (Cardan, Bombelli)

L'extension bidimensionnelle des nombres réels par l'unité imaginaire i, conférant au plan une structure arithmétique parfaite.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse

Élément du corps ℂ des nombres s'exprimant sous forme algébrique a + ib (partie réelle et partie imaginaire) ou trigonométrique r e^(iθ).

Notation usuelle & Exemples

z \in \mathbb{C}, \quad |z| = \sqrt{a^2+b^2}, \quad \bar{z} = a - ib

z = a + ib = r\,e^{i\theta} \quad (i^2 = -1)

Genèse & Portée historique

Nombre de la forme z = a + ib où a et b sont réels et i² = -1. Le corps des complexes ℂ clôt algébriquement le monde des nombres, permettant à toute équation polynomiale de degré n de posséder exactement n racines.

D'abord qualifiés de « quantités impossibles » ou « imaginaires » par Descartes, les complexes furent inventés pour résoudre des équations du troisième degré dont les solutions finales étaient pourtant réelles.

« L'imaginaire n'est qu'une dimension supplémentaire accordée au réel pour s'épanouir. »