#041 / 200•Foundations•MathTCG #041 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Théorème

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Période historique : 1821 (Cauchy) - 1888 (Schwarz)

L'inégalité fondamentale reliant produit scalaire et normes dans tout espace préhilbertien.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires

u, v éléments d'un espace vectoriel muni d'un produit scalaire défini positif.

Énoncé formel

Pour tous vecteurs u et v d'un espace préhilbertien réel ou complexe, le module de leur produit scalaire est inférieur ou égal au produit de leurs normes.

|\langle u, v \rangle|^2 \le \langle u, u \rangle \cdot \langle v, v \rangle

Genèse & Portée historique

L'une des inégalités les plus puissantes de toutes les mathématiques, stipulant que la valeur absolue du produit scalaire de deux vecteurs ne dépasse jamais le produit de leurs normes euclidiennes. Elle fonde la notion d'angle géométrique abstrait et le principe d'incertitude de Heisenberg en physique quantique.

Énoncée pour les sommes discrètes finies par Cauchy en 1821, étendue aux intégrales par Viktor Buniakovski en 1859 et redécouverte indépendamment par Hermann Schwarz en 1888 pour l'analyse moderne.

« La projection ne saurait être plus grande que la réalité tout entière. »