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MathTCG
#087 / 200•Foundations•MathTCG #087 / 500•★Commune•⊕Algèbre•Concept

Vecteur

Période historique : XIXe siècle (Hamilton, Grassmann, Peano)

L'entité algébrique modélisant les directions, les forces et les grandeurs multidimensionnelles.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Élément d'un ensemble muni d'une structure d'espace vectoriel sur un corps commutatif satisfaisant les 8 axiomes vectoriels.
Notation usuelle & Exemples
\vec{u} = (x, y, z) \in \mathbb{R}^3, \quad |\psi\rangle \in \mathcal{H}
v⃗=∑i=1nxie⃗i∈V,α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗\vec{v} = \sum_{i=1}^n x_i \vec{e}_i \in V, \quad \alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v}

Genèse & Portée historique

Élément d'un espace vectoriel abstrait pouvant être additionné à d'autres vecteurs et mis à l'échelle par multiplication par un scalaire. Il généralise le segment fléché géométrique à un nombre quelconque de dimensions, des états quantiques aux pixels d'une image numérique.

Hermann Grassmann posa les bases de l'algèbre linéaire générale dans sa 'Théorie de l'extension linéaire' (Ausdehnungslehre) en 1844, mais son œuvre était si novatrice et abstraite qu'elle mit trente ans à être comprise.

« Une flèche dans l'espace qui porte en elle une direction, un sens et une intensité. »

Filiations & Relations conceptuelles (3)

Fondement conceptuel de#041

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Gouverne le produit scalaire et les normes de vecteurs dans tout espace préhilbertien.

Fondement conceptuel de#046

Méthode des moindres carrés

S'interprète géométriquement comme une projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel.

Fondement conceptuel de#067

Orthogonalisation de Gram-Schmidt

Opère sur une famille libre de vecteurs pour en extraire des vecteurs orthogonaux.

Objet de collection MathTCG

#087
★Commune
⊕

Vecteur

Algèbre•CONCEPT

Élément d'un ensemble muni d'une structure d'espace vectoriel sur un corps commutatif satisfaisant les 8 axiomes vectoriels.

v⃗=∑i=1nxie⃗i∈V,α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗\vec{v} = \sum_{i=1}^n x_i \vec{e}_i \in V, \quad \alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v}
XIXe siècle (Hamilton, Grassmann, Peano)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#087 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #087 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : vecteur
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