#172 / 200•Foundations•MathTCG #172 / 500•★Commune•ℤArithmétique•Théorème

Lemme d'Euclide

Période historique : env. 300 av. J.-C.

Le cœur de la divisibilité première : si un nombre premier divise un produit ab, il divise obligatoirement a ou b.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires

p premier, a, b ∈ ℤ.

Énoncé formel

Si un nombre premier p divise le produit de deux entiers a et b, alors p divise nécessairement au moins l'un des deux facteurs a ou b.

p \in \mathbb{P} \land p \mid (a \cdot b) \implies (p \mid a) \lor (p \mid b)

Genèse & Portée historique

Propriété fondamentale des nombres premiers établie dans les Éléments d'Euclide (Livre VII, Proposition 30). Elle garantit que la primalité ne peut pas être « éclatée » entre deux facteurs et constitue le pivot de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

Bien que simple d'énoncé, cette propriété ne s'applique pas aux nombres composés : par exemple 4 divise 2 × 6 = 12, mais 4 ne divise ni 2 ni 6.

« L'atome premier traverse le produit sans jamais se scinder. »