#119 / 200•Foundations•MathTCG #119 / 500•★★★Rare•ℤArithmétique•Théorème

Théorème fondamental de l'arithmétique

Période historique : Antiquité (Euclide)

L'unicité de la signature multiplicative : tout entier > 1 se décompose de manière unique en produit de nombres premiers.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires

n ∈ ℕ avec n ≥ 2.

Énoncé formel

Tout entier naturel n ≥ 2 s'écrit de manière unique comme produit fini de nombres premiers, à l'ordre des facteurs près.

n = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i} = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}

Genèse & Portée historique

Théorème fondamental garantissant que chaque entier naturel strictement supérieur à 1 admet une unique décomposition en facteurs premiers, à l'ordre des facteurs près, constituant le principe d'atomicité de tous les nombres entiers.

Bien que l'existence de la factorisation et le lemme d'Euclide figurent dans les Éléments d'Euclide, c'est Carl Friedrich Gauss qui en publia la première démonstration formelle complète de l'unicité dans ses Disquisitiones Arithmeticae en 1801.

« Chaque entier porte en son cœur un code premier unique et inaltérable. »