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MathTCG
#120 / 200•Foundations•MathTCG #120 / 500•★★★Rare•ℙProbabilités•Théorème

Loi forte des grands nombres

Période historique : 1930 (Kolmogorov)

La certitude asymptotique du hasard : la moyenne empirique converge presque sûrement vers la véritable moyenne théorique.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
Variables i.i.d. avec E[|X_n|] < ∞.
Énoncé formel
Si (X_n) est une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées intégrables (E[|X_1|] < ∞), alors leur moyenne empirique converge presque sûrement vers leur espérance E[X_1].
P(lim⁡n→∞1n∑i=1nXi=E[X1])=1\mathbb{P}\left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mathbb{E}[X_1] \right) = 1

Genèse & Portée historique

Théorème probabiliste majeur énonçant que la moyenne arithmétique d'une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées converge presque sûrement (avec probabilité 1) vers l'espérance mathématique commune lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini.

Inaugurée par Jacob Bernoulli sous forme de loi faible en 1713, la forme forte avec convergence presque sûre fut établie avec une rigueur absolue par Émile Borel en 1909 puis Andreï Kolmogorov en 1930.

« Dans le tumulte infini des tirages, le hasard s'efface devant l'inexorable régularité des moyennes. »

Filiations & Relations conceptuelles (2)

Notion connexe#008

Théorème central limite

La loi des grands nombres assure la convergence en moyenne, le TCL quantifie les fluctuations.

Repose sur le concept#088

Variable aléatoire

S'applique aux suites de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.

Objet de collection MathTCG

#120
★★★Rare
ℙ

Loi forte des grands nombres

Probabilités•THÉORÈME

Hypothèses : Variables i.i.d. avec E[|X_n|] < ∞.

P(lim⁡n→∞1n∑i=1nXi=E[X1])=1\mathbb{P}\left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mathbb{E}[X_1] \right) = 1
1930 (Kolmogorov)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#120 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #120 / 500
Rareté officielle : Rare (★★★)
Domaine théorique : Probabilités
Identifiant pérenne : loi-forte-des-grands-nombres
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