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MathTCG
#022 / 200•Foundations•MathTCG #022 / 500•★★★Rare•∫Analyse•Méthode & Idée

Multiplicateurs de Lagrange

Période historique : 1788 (Mécanique Analytique)

La technique élégante pour optimiser une fonction sous contraintes d'égalité.

Contenu & Formulation mathématique

Principe de la démarche
Recherche des points où les lignes de niveau de la fonction objectif sont tangentes à la variété des contraintes.
Champs d'application canoniques
Optimisation sous contraintes en économie, génie mécanique, physique statistique et apprentissage automatique.
∇f(x)=∑k=1mλk∇gk(x)avecgk(x)=0\nabla f(x) = \sum_{k=1}^m \lambda_k \nabla g_k(x) \quad \text{avec} \quad g_k(x) = 0

Genèse & Portée historique

Méthode d'analyse à plusieurs variables permettant de trouver les extrema locaux d'une fonction différentiable soumise à des contraintes d'égalité, en recherchant les points critiques d'une fonction auxiliaire combinant la fonction objectif et les gradients des contraintes pondérés par des scalaires λ.

Lagrange développa cette méthode dans son magistral traité de 'Mécanique Analytique' en 1788, ouvrage célèbre pour ne contenir aucun schéma géométrique, reposant exclusivement sur l'analyse algébrique pure.

« Au sommet de la colline contrainte, le gradient de la pente épouse la force de la frontière. »

Filiations & Relations conceptuelles (2)

Établi / Formulé par#035

Joseph-Louis Lagrange

Conçus par Lagrange dans sa Mécanique Analytique de 1788.

Repose sur le concept#024

Dérivée

Repose sur l'alignement des gradients différentiels de la fonction et des contraintes.

Objet de collection MathTCG

#022
★★★Rare
∫

Multiplicateurs de Lagrange

Analyse•MÉTHODE

Principe : Recherche des points où les lignes de niveau de la fonction objectif sont tangentes à la variété des contraintes.

∇f(x)=∑k=1mλk∇gk(x)avecgk(x)=0\nabla f(x) = \sum_{k=1}^m \lambda_k \nabla g_k(x) \quad \text{avec} \quad g_k(x) = 0
1788 (Mécanique Analytique)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#022 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #022 / 500
Rareté officielle : Rare (★★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : multiplicateurs-de-lagrange
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