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MathTCG
#067 / 200•Foundations•MathTCG #067 / 500•★Commune•⊕Algèbre•Méthode & Idée

Orthogonalisation de Gram-Schmidt

Période historique : 1883 (Gram) - 1907 (Schmidt)

L'algorithme projetant une famille de vecteurs libres pour forger une base orthonormée parfaite.

Contenu & Formulation mathématique

Principe de la démarche
Soustractions successives des projections orthogonales pour annuler les composantes dépendantes.
Champs d'application canoniques
Décomposition QR de matrices, résolution des moindres carrés, calcul des polynômes orthogonaux (Legendre, Tchebychev).
uk=vk−∑j=1k−1⟨vk,uj⟩∥uj∥2ujpuisek=uk∥uk∥u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle v_k, u_j \rangle}{\|u_j\|^2} u_j \quad \text{puis} \quad e_k = \frac{u_k}{\|u_k\|}

Genèse & Portée historique

Procédé algorithmique transformant une base quelconque d'un espace préhilbertien en une base orthogonale ou orthonormée engendrant le même sous-espace vectoriel, en soustrayant successivement à chaque vecteur ses projections orthogonales sur les vecteurs déjà orthogonalisés.

Bien que nommé d'après Jørgen Pedersen Gram et Erhard Schmidt, le procédé figurait déjà dans les travaux antérieurs de Laplace sur la théorie des approximations.

« Raboter les composantes communes jusqu'à ce que chaque direction soit pure et perpendiculaire aux autres. »

Filiations & Relations conceptuelles (2)

Repose sur le concept#087

Vecteur

Opère sur une famille libre de vecteurs pour en extraire des vecteurs orthogonaux.

Repose sur le concept#089

Dimension

Préserve la dimension du sous-espace vectoriel engendré à chaque étape de calcul.

Objet de collection MathTCG

#067
★Commune
⊕

Orthogonalisation de Gram-Schmidt

Algèbre•MÉTHODE

Principe : Soustractions successives des projections orthogonales pour annuler les composantes dépendantes.

uk=vk−∑j=1k−1⟨vk,uj⟩∥uj∥2ujpuisek=uk∥uk∥u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle v_k, u_j \rangle}{\|u_j\|^2} u_j \quad \text{puis} \quad e_k = \frac{u_k}{\|u_k\|}
1883 (Gram) - 1907 (Schmidt)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#067 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #067 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : orthogonalisation-de-gram-schmidt
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