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MathTCG
#089 / 200•Foundations•MathTCG #089 / 500•★Commune•△Géométrie•Concept

Dimension

Période historique : XIXe - XXe siècle (Cayley, Poincaré, Hausdorff)

Le nombre minimal de degrés de liberté ou de coordonnées indépendantes nécessaires pour localiser un point.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Cardinal commun à toutes les bases d'un espace vectoriel libre (ou dimension de recouvrement topologique).
Notation usuelle & Exemples
\dim(\mathbb{R}^n) = n, \quad \dim(E \times F) = \dim(E) + \dim(F)
dim⁡(V)=∣B∣avec B base libre geˊneˊratrice de V\dim(V) = |\mathcal{B}| \quad \text{avec } \mathcal{B} \text{ base libre génératrice de } V

Genèse & Portée historique

Invariance topologique et algébrique quantifiant la liberté de mouvement dans un espace. Dans un espace vectoriel, elle correspond au nombre de vecteurs d'une base. Elle s'étend à la dimension topologique de Lebesgue et à la dimension fractale fractionnaire de Hausdorff.

L'idée d'une quatrième dimension fut longtemps rejetée comme absurde avant que Ludwig Schläfli et Arthur Cayley ne démontrent sa parfaite cohérence algébrique au milieu du XIXe siècle.

« Un point n'a aucune dimension, une ligne en a une, un plan en a deux : et l'esprit peut en concevoir une infinité. »

Filiations & Relations conceptuelles (3)

Notion connexe#015

David Hilbert

Formalisa les espaces géométriques de dimension infinie munis d'un produit scalaire complet.

Fondement conceptuel de#067

Orthogonalisation de Gram-Schmidt

Préserve la dimension du sous-espace vectoriel engendré à chaque étape de calcul.

Notion connexe#014

Bernhard Riemann

Conçut le concept révolutionnaire de variété différentielle à n dimensions et la géométrie riemannienne.

Objet de collection MathTCG

#089
★Commune
△

Dimension

Géométrie•CONCEPT

Cardinal commun à toutes les bases d'un espace vectoriel libre (ou dimension de recouvrement topologique).

dim⁡(V)=∣B∣avec B base libre geˊneˊratrice de V\dim(V) = |\mathcal{B}| \quad \text{avec } \mathcal{B} \text{ base libre génératrice de } V
XIXe - XXe siècle (Cayley, Poincaré, Hausdorff)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#089 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #089 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Géométrie
Identifiant pérenne : dimension
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