#045 / 200•Foundations•MathTCG #045 / 500•★★Peu commune•ℤArithmétique•Théorème

Théorème chinois des restes

Période historique : IIIe siècle (Sun Zi) - XIIIe siècle (Qin Jiushao)

La résolution univoque des systèmes modulaires aux diviseurs premiers entre eux.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires

pgcd(mᵢ, mⱼ) = 1 pour tous i ≠ j.

Énoncé formel

Soient m₁, ..., mₖ des entiers strictement positifs premiers entre eux deux à deux. Le système x ≡ aᵢ (mod mᵢ) admet une unique solution modulo M = m₁...mₖ.

x \equiv a_i \pmod{m_i} \iff x \equiv x_0 \pmod{\prod_{i=1}^k m_i}

Genèse & Portée historique

Énoncé dans le Sunzi Suanjing pour dénombrer des armées sans les compter une à une, ce théorème établit que si des modules m₁, m₂, ..., mₖ sont deux à deux premiers entre eux, alors pour tous restes donnés, il existe un unique entier modulo le produit de ces nombres satisfaisant simultanément toutes les congruences.

Le mathématicien chinois Qin Jiushao publia en 1247 dans son traité 'Shushu Jiuzhang' l'algorithme complet 'Dayan qiusuishu' fondé sur l'algorithme d'Euclide pour résoudre explicitement ces systèmes.

« Connaître le reste de chaque mesure permet de recomposer la totalité du nombre secret. »