#138 / 200•Foundations•MathTCG #138 / 500•★★Peu commune•ℤArithmétique•Théorème
Théorème d'Euler en arithmétique modulaire
Période historique : 1760
La généralisation du théorème de Fermat à tout module grâce à l'indicatrice d'Euler φ(n).
Contenu & Formulation mathématique
Hypothèses nécessaires
n ∈ ℕ*, a ∈ ℤ avec pgcd(a, n) = 1.
Énoncé formel
Si n est un entier naturel non nul et a un entier premier avec n, alors a élevé à la puissance indicatrice d'Euler φ(n) a pour reste 1 dans la division euclidienne par n.
Genèse & Portée historique
Extension magistrale du petit théorème de Fermat affirmant que pour tout entier n ≥ 1 et tout entier a premier avec n, a^φ(n) est congru à 1 modulo n, où φ(n) compte les entiers inférieurs à n et premiers avec lui.
Après avoir démontré le cas particulier de Fermat en 1736, Euler présenta en 1760 cette généralisation fondamentale à tout module premier ou composé, introduisant l'indicatrice d'Euler φ(n).
« L'ordre des éléments dans le groupe inversible module les secrets du calcul secret. »
Filiations & Relations conceptuelles (2)
Objet de collection MathTCG
#138
★★Peu commune
ℤ
Théorème d'Euler en arithmétique modulaire
Arithmétique•THÉORÈME
Hypothèses : n ∈ ℕ*, a ∈ ℤ avec pgcd(a, n) = 1.
1760
Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.
Extension : Foundations (#138 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #138 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Arithmétique
Identifiant pérenne : theoreme-d-euler-en-arithmetique-modulaire