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MathTCG
#062 / 200•Foundations•MathTCG #062 / 500•★Commune•∫Analyse•Théorème

Théorème de Heine-Borel

Période historique : 1895 (Borel) - 1872 (Heine)

Dans l'espace euclidien ℝⁿ, être compact équivaut exactement à être fermé et borné.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
K sous-ensemble de l'espace vectoriel normé ℝⁿ muni de sa topologie usuelle.
Énoncé formel
Dans l'espace euclidien de dimension finie ℝⁿ, une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée pour la métrique usuelle.
K⊂Rn est compact  ⟺  K est fermeˊ et borneˊK \subset \mathbb{R}^n \text{ est compact} \iff K \text{ est fermé et borné}

Genèse & Portée historique

Caractérisation géométrique essentielle de la compacité dans les espaces de dimension finie : un sous-ensemble de ℝⁿ possède la propriété de Borel-Lebesgue (de tout recouvrement d'ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini) si et seulement s'il est à la fois fermé et borné.

Émile Borel démontra la propriété de recouvrement fini pour les segments réels en 1895 dans sa thèse, inspiré par les travaux de continuité uniforme d'Eduard Heine.

« Enfermé entre des bornes finies et contenant ses limites, l'espace s'apprivoise sans fuite possible. »

Filiations & Relations conceptuelles (2)

Notion connexe#063

Théorème de Bolzano-Weierstrass

En dimension finie, la compacité de Borel-Lebesgue équivaut à la compacité séquentielle.

Repose sur le concept#091

Topologie

Fonde la caractérisation métrique usuelle de la compacité topologique.

Objet de collection MathTCG

#062
★Commune
∫

Théorème de Heine-Borel

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : K sous-ensemble de l'espace vectoriel normé ℝⁿ muni de sa topologie usuelle.

K⊂Rn est compact  ⟺  K est fermeˊ et borneˊK \subset \mathbb{R}^n \text{ est compact} \iff K \text{ est fermé et borné}
1895 (Borel) - 1872 (Heine)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#062 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #062 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-de-heine-borel
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