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Théorème de Bolzano-Weierstrass

Période historique : 1817 (Bolzano) - 1860 (Weierstrass)

De toute suite bornée de nombres réels ou de vecteurs, on peut extraire une sous-suite convergente.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires

(uₙ) suite d'éléments de ℝᵈ telle qu'il existe M > 0 avec ||uₙ|| ≤ M pour tout n.

Énoncé formel

Toute suite bornée d'un espace vectoriel de dimension finie admet au moins une sous-suite convergente.

(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ bornée dans } \mathbb{R}^d \implies \exists \varphi, \; (u_{\varphi(n)}) \text{ converge}

Genèse & Portée historique

Pilier absolu de l'analyse réelle : si une infinité de points est confinée dans une boîte finie de ℝⁿ, alors ils doivent obligatoirement s'accumuler en au moins un endroit, garantissant l'existence d'une sous-suite convergente.

Bernard Bolzano l'énonça en 1817 dans son traité sur le théorème des valeurs intermédiaires, mais ses travaux pionniers à Prague restèrent méconnus jusqu'à leur redécouverte et clarification par Karl Weierstrass à Berlin.

« Confinée dans un espace clos, une infinité de pas finit toujours par converger vers un même point. »

Filiations & Relations conceptuelles (4)

Établi / Formulé par#201

Objet de collection MathTCG

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