#189 / 200•Foundations•MathTCG #189 / 500•★Commune•⊦Maths Discrètes•Concept

Combinaison

Période historique : XVIIe siècle (Pascal)

Choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre : le coefficient binomial (n k).

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse

Partie à k éléments d'un ensemble à n éléments, où l'ordre des éléments n'a aucune importance.

Notation usuelle & Exemples

\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10, \quad \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

\binom{n}{k} = C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}

Genèse & Portée historique

Sous-ensemble de k éléments distincts choisis parmi un ensemble fini de n éléments, sans considérer l'ordre de tirage. Leur nombre est donné par le coefficient binomial (n k) = n! / (k!(n-k)!), élément fondamental du triangle de Pascal.

Le mathématicien indien Bhāskara II connaissait déjà la formule au XIIe siècle, mais c'est Blaise Pascal qui en démontra toutes les propriétés fondamentales par récurrence dans son Traité du triangle arithmétique.

« Prendre une poignée de k trésors parmi n, où seule la sélection importe et l'ordre s'oublie. »