#110 / 200•Foundations•MathTCG #110 / 500•★★★★Épique•∫Analyse•Théorème

Théorème fondamental du calcul intégral

Période historique : XVIIe siècle (Newton, Leibniz)

Le pont unificateur de l'analyse : l'intégrale d'une fonction continue s'obtient directement par la variation de ses primitives.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires

f continue sur un intervalle réel fermé borné [a, b].

Énoncé formel

Si f est une fonction continue sur [a, b] et F est une primitive de f sur cet intervalle, alors l'intégrale de f entre a et b est égale à F(b) - F(a). De plus, la fonction x ↦ ∫_a^x f(t) dt est dérivable et de dérivée f.

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) \quad \text{avec } F'(x) = f(x)

Genèse & Portée historique

Théorème magistral reliant les deux opérations fondamentales de l'analyse : la dérivation (taux de variation local) et l'intégration (accumulation continue). Il établit que la différentiation et l'intégration sont des opérations mutuellement inverses.

Pressenti par Isaac Barrow, professeur de Newton, ce théorème fut pleinement formulé et exploité par Newton et Leibniz, transformant le calcul des aires en une simple recherche de primitives algébriques.

« L'aire sous la courbe n'est que la mémoire accumulée de son taux de croissance. »

Filiations & Relations conceptuelles (3)

Notion connexe#001

Objet de collection MathTCG

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